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【演算这道考题】续 这道题,本人解答行文比较长,需要了解的,请抽空认真读, 如有的人看不懂,或是时间宝贵,各有各事,可以跳过。 对于读不懂的朋友而言,也不要紧,前面我用初中的方法解题了。 必须说明一下。 并不是偏好要用高中基础解高考题目,只因,运算符,不识别,出现了乱码现象。不得已而为之, 所以把前文的空间向量法解题,编辑掉。 今编辑为 用高中的三角函数解这道题。 *** 本题见2021年湖北黄陂考区,高考数学题,第20小题。这一高考真题,是武汉十二中学,2021年高考,吴伊卓同学回到原籍黄陂应考。吴伊卓考试作弊,传到网上的,并不是本人随意泄露五年前的考题。 第20小题(12分) 如图,(路某这里将立体几何图从略,读者可以根据本题描述作出图来的) 在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥BCD,AB=AD。O,为BD的中点。 1)证明OA⊥CD 2)若△OCD 边长为1的等边三角形,点E在棱长AD上,DE=2EA。 设二面角E-BC-D的大小为45度。求三棱锥A-BCD的体积。 *** 解1): 要证明1)OA⊥CD , 可以通过线面垂直的性质来推导, (若一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平面内的所有直线) 具体步骤如下: ①:先证OA ⊥BCD 平面 已知AB=AD。O,为BD的中点 根据等腰三角形三线合一的性质:
在等腰△ABD 中,底边BD 的中线OA 同时也是高,因此OA⊥BD 。 又已知平面ABD⊥BCD 平面 ,且两个平面的交线为BD。 (即BD是两个集合的交集:BD=ABD∩BCD)。
根据面面垂直的性质定理:若两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线,垂直于另一个平面。 而且OA⊥BD(交线), 因此OA⊥BCD 平面 。 *** ②:由线面垂直推导出 OA⊥CD: 因为CD 是平面BCD 内的一条直线, 而刚才已经证明 OA⊥BCD平面 , 根据线面垂直的定义: 若一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平面内的所有直线。 因此,OA⊥CD 。 1)证毕。 *** *** 解:2)已知,二面角E-BC-D的大小为45度。求三棱锥A-BDC的体积。 在三棱锥A-BCD中, E一BC一D的平面角,然后利用解三角形,和三棱锥体积公式进行计算。 首先作辅助线,构造二面角的平面角。 作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M, 连接EM。 由(1)知AO ⊥平面BCD, 且EF∥AO, 可推得EF⊥平面BCD, 因此EF⊥BC。 又因为FM⊥BC,所以BC⊥平面EFM, 进而得到BC⊥ME。 所以∠EMF就是二面角E一BC一D的平面角, 即∠EMF=45° 。 接着计算相关线段的长度。 因为△OCD为边长为1的等边三角形,且O为BD中点, 所以OD=1, BD=2,CD=1。 在△BCD中,由勾股定理得 BC=√(BD^2 - CD^2)=√3。 根据DE=2EA可知,EF/AO=DF/DO=DE/DA=2/3 可得DF=2/3. 。 则BF=BD-DF=4/3 。 在△BCD中, sin∠DBC = CD/BD = 1/2 在Rt△BFM中,FM=BF x sin∠DBC=4/3 x 1/2=2/3。 因为∠EMF=45°, 所以EF=FM=2/3。 由EF/AO=2/3 。可得A0=1。 最后计算三棱锥的体积。 三棱锥A一BCD的高为AO, 底面为BCD。先计算底面面积S△BCD=1/2 x BC x CD, 然后代入三棱锥体积公式 V=1/3 x S△BCD xAO求解。 在△BCD中, BC= √(BD^2 - CD^2)= √(2^2 - 1^2)= √3. BF = BD - DF = 2 - 2/3 = 4/3 。 FM = BF x sin∠DBC = 4/3 x1/2 = 2/3。 因为∠EMF=45° 。所以EF=FM=2/3 因为EF/AO=2/3 。所以A0=1。. S△BCD =1/2 X BC x CD=1/2 x √3x1 =(√3)/2 V=1/3 x S△BCD x AO =1/3 x (√3)/2 x 1 =(√3)/6 答:第20考题2),三棱锥A-BCD的体积是根号3除以6。 ——【(√3)/6】
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